序
最近 GIS 很火啊，各种应用和引擎呈百花齐放的形式，之前的重心方向：地理信息框架、底层数据组织、业务应用模式都接触很多了，自己也做了简单的开源 Web GIS 应用以做代学，详情可见Github 仓库，后续的目标应该会集中在：显卡编程、GLSL、图形学上面，更偏底层一些，涉及到业务的更少，但能开拓的东西更多。
这块目标上随时都会涉及到线性代数的知识点，大学时候学习的线性代数这么多年没怎么用，已经基本还给老师了，所以很有必要进行一系列的回顾。故开此篇。
向量
向量的基础内容博客以前写过了，就不重新写了，详见：基础内容和延伸内容
矩阵
矩阵向量表示
我们可以用一个矩阵来表示向量，如一个二维向量可以这样表示：
$ A = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $
$ A^T = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} $ 转置矩阵
注:一般习惯用列向量来表示，用行向量表示也可以，本质上没有区别
叉乘的性质
$\vec{x} \times \vec{y} = +\vec{z}$
$\vec{y} \times \vec{x} = -\vec{z}$
$\vec{y} \times \vec{z} = +\vec{x}$
$\vec{z} \times \vec{y} = -\vec{x}$
$\vec{z} \times \vec{x} = +\vec{y}$
$\vec{x} \times \vec{z} = -\vec{y}$
以上常用于定坐标系。
$\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$
$\vec{a} \times \vec{a} = 0$
$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
$\vec{a} \times (k \vec{b})= k(\vec{a} \times \vec{b})$
矩阵表示
一个 m $\times$ n 的数组 $(m :rows, n :columns)$，例：
$ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} $
矩阵相乘
必须满足：$(M \times {\color{red}{N}}) ({\color{red}{N}} \times P) = (M \times P)$
如何计算
结果矩阵的元素 (i, j) 是，A 矩阵的第 i 行和 B 矩阵的第 j 列 点乘的结果。
$$
\begin{pmatrix} 1&3 \\ 5&2 \\ 0&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&6&9&4 \\ 2&7&8&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9&27&33&13 \\ 19&44&61&26 \\ 8&28&32&12 \end{pmatrix}
$$
矩阵乘法属性
不满足交换律
$AB \neq BA$结合律和分配率可用
$(AB)C = A(BC)$
$A(B+C) = AB + AC$
$(A+B)C = AC + BC$
变换
缩放 Scale
$$
\begin{bmatrix} x’ \\ y’ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} S_x&0 \\ 0&S_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}
$$
剪切变换 Shear Matrix
$$
\begin{bmatrix} x’ \\ y’ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&a \\ b&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}
$$
旋转 Rotate
一切旋转不作特别说明的，都是以原点$(0,0)$为轴，逆时针(CCW)进行旋转。
$$
\begin{bmatrix} x’ \\ y’ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}
$$
以上形式，我们称为线性变换
$ x’ = ax + by $
$ y’ = cx + dy $
$ \begin{bmatrix} x’ \\ y’ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} $
$ x’ = M x $
平移 Translation
平移 $(t_x, t_y)$的距离，则：
$ x’ = x + t_x $
$ y’ = y + t_y $
$ \begin{bmatrix} x’ \\ y’ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} $
$ {\color{red}{这是一个非线性变换}} $
为了解决平移非线性变换的问题，使所有变换能统一计算。引入 齐次坐标 Homogenous Coordinates
齐次坐标 Homogenous Coordinates
添加一个坐标，称为：w-coordinate
对于二维来说：
- 2D point = $ (x, y, {\color{red}{1}})^T $
- 2D vector = $ (x, y, {\color{red}{0}})^T $
通过 w-coordinate 的结果是 1 或 0，来验证
- vector + vector = vector
- point - point = vector
- point + vector = point
- point + point = center point
在齐次坐标中，如果 $ \begin{pmatrix} x \\ y \\ w \end{pmatrix} $ 是一个 2D 点，我们可以把 w-coordinate 归一，$ \begin{pmatrix} x/w \\ y/w \\ 1 \end{pmatrix} $, $ w \neq 0 $
平移
有了齐次坐标，平移就可以表示为：
$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \\ w’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&t_x \\ 0&1&t_y \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+t_x \\ y+t_y \\ 1 \end{pmatrix} $
仿射变换 Affine Transformations
仿射变换 = 线性变换 + 平移变换
$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} $
使用齐次坐标
$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a&b&t_x \\ c&d&t_y \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} $
可以看出变换矩阵的最后一行，始终是 0 0 1
组合变换 Composite Transform
可以想象，使用旋转矩阵 R 和平移矩阵 T。先进行平移 T，再做旋转 R；和先进行旋转 R，再做平移 T，结果肯定是不一样的，既：$ RT \neq TR $。 这也证明了，矩阵不满足交换律。（记住：旋转默认情况下以原点，逆时针进行）
一个复杂的组合变换：
$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \\ 1 \end{pmatrix} = A_n \cdot \cdot \cdot A_2 \cdot A_1 \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} $
其中，$ A_n \cdot \cdot \cdot A_2 \cdot A_1 $，是多个变换矩阵。
由于矩阵乘法满足分配律，且这些矩阵相乘，最终还是一个矩阵，所以，组合变换用一个矩阵就可以进行表示。
3D 变换
还是使用齐次坐标：
- 3D point = $ (x, y, z, {\color{red}{1}})^T $
- 3D vector = $ (x, y, z, {\color{red}{0}})^T $
一般地，$ (x, y, z, w) (w \neq 0) $ ，代表 3 维坐标点：$ (x/w, y/w, z/w) $
3D 的仿射变换，使用 $ 4 \times 4 $矩阵表示：
$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \\ z’ \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a&b&c&t_x \\ d&e&f&t_y \\ g&h&i&t_z \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} $
顺序
从上面文章中平移的公式：
$ \begin{bmatrix} x’ \\ y’ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} $
可以看出，先做线性变换，再做平移。
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